Graswurzel Backgammon

Diese Position ist im Moneygame ein klares Take!

 

Weiß doppelt
Position ID: CgAAKAAAAAAAAA Match ID: RAkAAAAAAAAA

 

Sicher? Ja wie viel Money haben Sie denn noch? 100€? Und Sie spielen um 1€ den Punkt? Dann ist das ein Pass! Das glauben Sie nicht?

Also ein anderes Beispiel. Ein Kollege bietet Ihnen folgendes Spiel an: Er würfelt mit einem Würfel. Für eine Sechs bekommen Sie zehnfaches Geld, ansonsten verlieren Sie. Diese Prozedur wird 10 mal durchgeführt. Die Höhe des Einsatzes können Sie vor jedem Wurf selbst bestimmen. Ihre Bankroll beträgt 1000€. Wie viel setzen Sie?

Für maximalen Gewinn müsste man jedesmal Haus und Hof setzen. Wenn Sie in jeder Runde Ihre komplette Bankroll setzen, gewinnen Sie, wenn 10 mal die Sechs kommt, 10^10 mal Ihren ursprünglichen Einsatz. Natürlich verlieren Sie in 60466175 von 60466176 Fällen. Auf lange Sicht gewinnen Sie aber immer noch ca. 165 mal den Ausgangswert (10^10/60466176). Nur ist das mit der langen Sicht so eine Sache, wenn man bankrott ist. Tatsächlich klingt es wohl etwas verrückt bei einer so vorteilhaften Wette in 99,999…% der Fälle bankrott zu gehen, oder? Hier ist Bankroll Management gefragt.

Üblicherweise wird der ideale Einsatz mit Hilfe des Kelly Kriteriums ermittelt. Danach gilt

Idealer Einsatz=Bankroll*(Quote*Gewinnwahrscheinlichkeit-Verlustwahrscheinlichkeit)/Quote

in unserem Beispiel also für den ersten Durchgang: 1000*(10*1/6-5/6)/10 also etwa 83€. Wenn Sie verlieren setzen Sie im zweiten Durchgang 917*(10*1/6-5/6)/10 also ungefähr 76€. Wenn Sie gewinnen sind es für den zweiten Durchgang entsprechend (917+10*83)*(10*1/6-5/6)/10 also knapp 146€. In dieser Weise kann vor jedem Durchgang ausgehend von der aktuellen Bankroll der ideale Einsatz berechnet werden. Im schlechtesten Fall haben Sie danach eine Bankroll von 419€, im besten von 269389€.

Aber zurück zum Backgammon: Wie sollte man seine Einsätze nun beim Backgammon wählen?

Match:

Für ein einfaches Match (ohne Rake) gibt das Kelly Kriterium an: Idealer Einsatz=Bankroll*(2*Gewinnwahrscheinlichkeit-1).

Beispiel: Spieler A spielt ein 5-Punkte Match gegen Spieler B und hat eine Gewinnerwartung von 60% (ca. 150 Fibs Rating Punkte Differenz). Seine Bankroll beträgt 100€. Daraus ergibt sich als idealer Einsatz für Spieler A:

Idealer Einsatz=100*(2*0,6-1)=20€

Für Spieler B beträgt der ideale Einsatz 0€. Er wird auf lange Sicht immer verlieren und sollte darum nicht setzen. Das Kelly Kriterium mach nur Sinn bei einer Gewinnchance über 50%.

Wenn Rake ins Spiel kommt, müssen wir wieder die Quote mitberechnen. Bei einem Rake von 5% (der Sieger zahlt den Rake für beide, die Quote ist also 0,9) ergibt sich für Spieler A folgender Einsatz:

Idealer Einsatz=100*((0,9*0,6-0,4)/0,9)=15,56€

Moneygame:

Im Moneygame muss man noch die Varianz abschätzen, da nicht um einen festen Betrag gespielt wird. Die Formel lautet:

Idealer Einsatz=Bankroll*(Vorteil/Varianz)

Douglas Zare schätzt die Varianz im Backgammon Moneygame mit 9 Quadratpunkten ab*. Damit ergibt sich für einen Spieler, der einen Equity Vorteil von 0,1 hat, ein Einsatz von (1/90)*Bankroll.

In der Chouette ist die Varianz deutlich höher. Dementsprechend sollte der Einsatz auch nur etwa die Hälfte sein.

 

Nun ist aber die Einstiegsfrage noch immer nicht beantwortet. Warum sollte ein Spieler mit einer Bankroll von 100€ diese Verdopplung ablehnen? Schwarz gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 11/36. Anstatt 16€ zu verlieren gewinnt er in diesen Fällen 32€, der tatsächliche Gewinn beträgt also 48€, das Dreifache des Einsatzes.

16 = Bankroll*((3*11/36-25/36)/3) = Bankroll * 0,074074

also Bankroll = 16/0,074074 = 216

Unter dem Gesichtspunkt des Bankroll Managements sollte Schwarz also nur annehmen, wenn seine Bankroll mindestens 216€ beträgt. Mit einer Bankroll von 100€ sollte er um ein Settlement bemüht sein oder tatsächlich aufgeben.

Anmerkungen:

Das Kelly Kriterium führt immernoch zu recht hohen Einsätzen im Verhältnis zur Bankroll. Der "ideale Einsatz" sollte also vor allem als maximaler Einsatz angesehen werden. Es gibt auch Ansätze, die eine entschärfte Version des Kelly Kriteriums nutzen**.

Zu hohe Einsätze im Verhältnis zur Bankroll führen dazu, dass Sie eventuell selbst wenn sich die vorhergesagte Gewinnwahrscheinlichkeit einstellt, verlieren. Wenn Sie sich daran halten maximal Kelly zu wetten, kann das nicht passieren. (Natürlich können Sie immernoch verlieren, wenn Ihre Gewinnerwartung nicht erfüllt wird.)

Beim Online Spiel gilt es immer die Rake Struktur mit zu beachten. Außerdem wird mit steigendem Einsatz im Durchschnitt auch Ihr Vorteil sinken. Momentan kann leider nur Snowie einigermaßen präzise Ihren Vorteil berechnen. (Achtung: Dieser sollte nicht aus der Ratingdifferenz, sondern aus der Analyse von Spielen abgeleitet werden!)

Überwinden Sie Ihr Ego und gehen Sie mit den Einsätzen runter, wenn die Bankroll dies erfordert.

Turniere lohnen sich unter Bankroll Gesichtspunkten grundsätzlich nicht. Aber Backgammon ist ja auch keine Geldmaschine sondern ein unglaublich unterhaltsames und spannendes Spiel!

 

* Douglas Zare: The Kelly Criterion, gammonVillage, 25.11.2003. (Um den Artikel lesen zu können, ist eine kostenpflichtige Mitgliedschaft notwendig, die es hier zu erstehen gibt.)

** William Chin, Marc Ingenoso: Risk formulas for proportional betting.